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Regreso

Sociedad CastellanoManchega Profesores Matemáticas

Problemas planteados en la II Olimpiada Matemática de Toledo

Centros de Profesores y Recursos:

Illescas, Ocaña, Talavera de la Reina, Toledo, Torrijos, Villacañas.

Nivel 12-14.

Nivel 14-16.

 

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Nivel 12-14

Problema 1: "¿Cuántos triángulos hay?"

Determina el número de triángulos que aparecen en la siguiente figura. Explica el procedimiento que has seguido para contarlos.


Nivel 12-14 - Problema 2: "Las bandejas de pasteles"

Una familia espera invitados a merendar, por lo que sobre la mesa ha dispuesto ocho bandejas con treinta y dos pasteles, como se ve en la figura. Sabiendo que su hijo es muy goloso, los padres le advierten que no debe comer ningún pastel hasta que lleguen los invitados, y que si falta alguno lo notará inmediatamente pues en cada lado de la mesa el número total de pasteles es nueve.

Unos minutos después el niño se come cuatro pasteles y cuando sus padres comprueba si falta alguno sigue habiendo nueve pasteles en cada lado de la mesa. Poco después come otros cuatro pasteles y en una nueva inspección de la madre sigue habiendo cuatro en cada lado. Luego el hijo vuelve a comer por tercera vez otros cuatro pasteles y cuando llegan los invitados los padres comprueban que aún hay nueve pasteles en cada lado.

¿Qué táctica ha empleado el niño para comer 12 pasteles engañando a sus padres?

 


Nivel 12-14 - Problema 3: "Representación Olímpica"

 La representación olímpica de un país puede desfilar de tres en tres y queda por delante el que lleva la bandera. lo mismo pasa si desfilan de cuatro en cuatro o si desfilan de cinco en cinco. ¿Cuántas personas la componen? 

 La representación de otro país intenta lo mismo, pero ahora de tres en tres quedan dos sueltos, de cuatro en cuatro les sobran tres y de cinco en cinco les sobran cuatro. ¿Cuántos miembros la componen? 

 La representación española tiene menos suerte. De tres en tres sobran dos y de cinco en cinco sobran tres, pero el número de atletas es mayor que el de los otros dos países. ¿Cuántos son?

 Los dos primeros casos admiten estrategias particulares que no valen para el tercero, aunque la idea es algo parecida. ¿Cómo los has pensado?

 


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Nivel 14-16

Problema 1: "Manzanas"

 Un hortelano vendió al primero de sus compradores la mitad de las manzanas de su jardín más media manzana, al segundo, la mitad de las restantes más media; al tercero, la mitad de cuantas quedaron más media, etc. El séptimo comprador adquirió la mitad de las manzanas que quedaban más media, agotando con ello la mercancía. ¿Cuántas manzanas tenía el jardinero?

 


Nivel 14-16 - Problema 2: "¿Las matemáticas fallan?"

 Tres mujeres van a un hotel y preguntan el precio de una habitación, a lo que el recepcionista contesta 300 euros. Cómo es mucho, deciden coger una habitación para las tres, con lo que cada una paga 100 €.

 Un rato después el recepcionista ve que se ha equivocado y que la habitación costaba sólo 250 €, por lo que manda al botones que las devuelva 50 €.

 El botones decide quedarse con 20 € y darles sólo 30 € (10 a cada una).

 Ahora bien, si cada una paga 100 € y le devuelven 10, entonces cada una paga 90 €, como son tres, en total pagan 270 € y como el botones se queda con 20 €, en total hace 290 €. ¿Dónde están los otros 10 €?

 


Nivel 14-16 - Problema 3: "Un rombo curioso"

 En una circunferencia hemos inscrito un rectángulo y en él un rombo, tomando los puntos medios de los lados del rectángulo. Si el diámetro del círculo es 10 cm, ¿Cuánto mide el perímetro del rombo?


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