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Regreso

Sociedad Castellano Manchega Profesores Matemáticas

Problemas propuestos en la Tercera fase de la X Olimpiada Matemática Provincial de Guadalajara

Tercera fasel provincial celebrada en Molina de Aragón el día 9 de Mayo de 2009   

  Problemas de nivel 12 - 14 Ciclo 12 - 14 años

Problemas de nivel 14 - 16  Ciclo 14 - 16 años

 

 

 

Ciclo 12 - 14   ( Tercera Fase)

12-14  Problema nº 1 - El ladrón de naranjas:

Un ladrón, un cesto de naranjas del mercado robó, y por entre los huertos escapó; al saltar una valla, la mitad más media perdió. Perseguido por un perro, la mitad menos media abandonó. Tropezó en una cuerda y la mitad más media desparramó. En su guarida, dos docenas guardó. Vosotros que buscáis la sabiduría, decidnos, ¿cuántas naranjas el ladrón robó?

 


Solución:

12-14 Problema nº 2 - En Busca del Tesoro:

Estaba el pirata Lesh poniendo a buen recaudo su último botín, cuando descubrió un papel viejo y roto. Al abrirlo, Lesh descubrió que se trataba de un enigma para hallar un nuevo tesoro. El lugar dentro de la isla donde se encontraba este tesoro, venía marcado por una cruz pero, para poder abrir el tesoro necesitaba conocer un número secreto. Tal y como venía señalado, dicho número era la medida de la base del pentágono dibujado. Sabiendo que ABC es un triángulo equilátero, que ADF, DEF y ECF son triángulos isósceles, con los lados DF y EF iguales, que ABC y ADF tienen el mismo perímetro y que el perímetro del pentágono es de 135 cm. ¿Podrías ayudar a Lesh a encontrar este número secreto?

 

Solución:

 

12-14 Problema nº 3 -  Comer a rompetripa:

Tres exploradores y tres caníbales recorren juntos la selva hasta que encuentran un río que les impide seguir su camino. Descubren una barca en la orilla para poder cruzar el río, pero en la barca sólo pueden ir dos personas y si en algún momento, en algún lado del río el número de caníbales supera al de exploradores, aquéllos se comerán a éstos. ¿Cómo cruzarán el río sin lamentar ninguna baja en la expedición?

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Solución:

Describiremos todos los pasos mediante una tabla en la que se índica quién cruza en cada momento y la situación en la orilla de partida y en la de llegada. La letra E representa a los exploradores, la letra C a los caníbales y la letra B el lugar dónde se encuentra la barca.

 

 

12-14 Problema nº 4 ¡Como pille a mi hermana!:

La hermana de Dani ha cambiado las teclas de la calculadora que tiene su hermano, sin decirle nada.
Como ves, si Dani presiona la tecla del 4, el número que entra realmente es un 5 (aparece en pantalla).

Sin darse cuenta de este desmadre, Dani, sin mirar la pantalla (sólo mira a las teclas) mete en la calculadora lo que él cree que son un número primo “p” de dos dígitos y otro número primo “q” de un dígito y ordena sumarlo. ¡Sorprendentemente, el resultado que aparece en la pantalla es la respuesta correcta!. ¿Qué dos números “p” y “q” Dani introdujo pensando que eran dos primos?

 

Solución:

Para ver los posibles casos de este problema basta hacer la criba de Eratóstenes para trabajar con los números primos correspondientes de dos dígitos y comparar con los dígitos realmente introducidos. De esta forma, tendríamos los siguientes casos:

 


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Ciclo 14 - 16 ( Tercera Fase )

14-16 Problema nº1 - Productos notables

Sean a y b números reales distintos tales que 2a2 + 2b2 = 5ab. Hallar todos los posibles valores de (a+b)/(a-b).

 

 Solución:

Como 2a2 + 2b2 = 5ab, entonces 2a2 + 2b2 - 4ab = ab. Y entonces 2(a2 -2ab + b2) = ab.
Así 2(a – b)2 = ab.
Por otra parte 2(a + b)2 = 2(a2 + b2 + 2ab) = 2a2 + 2b2 + 4ab y sustituyendo la igualdad dada en el enunciado se tiene que 2(a + b)2 = 5ab + 4ab = 9ab.
Por tanto 2(a + b)2 / 2(a - b)2 = 9ab / ab = 9 de donde se deduce: (a + b)2 / (a - b)2 = 9
Y así ((a + b) / (a - b))2 = 9 por lo que tomando raíces cuadradas se tiene que:
(a + b) / (a – b) = ±3.

 

 

 

14-16 Problema nº 2 - Los animales de la granja

Averigua cuantos animales hay en la granja si se sabe que:
a) todos son toros menos 4.
b) todos son vacas menos 4.
c) hay tantos caballos como ganado vacuno.
d) el resto son gallinas

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 Solución:

En primer lugar nombramos a las 4 incógnitas del sistema de ecuaciones que vamos a tratar.
T=número de toros.
V=número de vacas.
C=número de caballos.
G=número de gallinas.
En segundo lugar planteamos las 4 ecuaciones que se infieren del enunciado del problema.
T+V+C+G=T+4
T+V+C+G=V+4
T+V=C
C= 2T
El tercer paso es afirmar que nos encontramos ante un sistema de ecuaciones que no podrá ser compatible determinado con solución única, ya que el número de ecuaciones es menor que el de incógnitas (debido a que una ecuación es combinación lineal de las otras 3).
Por lo que tendremos un sistema incompatible (sin solución) o compatible indeterminado (con más de una solución).
En el caso de que haya solución también hay que tener en cuenta que éstas solo pueden tener valores enteros positivos o cero al ser número de animales.
Procedamos pues a resolverlo:
Llevamos a la primera y segunda ecuación la tercera ecuación T+V=C quedándonos
C+C+G=T+4

C+C+G=V+4

Restamos ambas y nos queda T=V al que asignamos el valor de parámetro p( T=V=p).

Nos damos cuenta en este punto que la cuarta ecuación es redundante.

De la tercera ecuación inicial hallamos C=T+V=p+p=2·p

Para hallar G despejamos de la segunda ecuación inicial G=V+4-T-V-C=4-3·p

Advertimos en este momento que p sólo puede tomar los valores 0 y 1 para que los valores de G,V,T y C sean positivos o cero. En cualquier otro caso no lo serán a la vez.

Por lo tanto tenemos dos soluciones válidas.

Para p=0 tenemos V=T=C=0; G=4.

Para p=1 tenemos V=T=1; C=2; G=1

 

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14-16 Problema nº 3 - Juego en familia:

Mis amigos Juan, Pablo y yo mismo, con nuestros hijos Julio, José y Luis, disparamos con dardos sobre una diana con un número en cada casilla. Cada uno anotó en cada tiro tantos puntos como tiros hizo (es decir, si alguien tiró 10 tiros anotó 10 puntos en cada tiro). Cada padre se anotó 45 puntos más que su hijo. Yo disparé 7 tiros más que Luis y Julio 15 más que Pablo. ¿Cómo se llama mi hijo?, ¿Quién es el hijo de Juan? ¿Cuántos puntos se marcaron? ¿Cuántos dardos se lanzaron?

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  Solución:

persona hace un cuadrado perfecto de puntos. Cada padre hace 45 más que su hijo, con lo que hay que buscar las puntuaciones de un padre y su hijo para que cumplan que:
x2 – y2 = 45. y entonces: (x+y)(x-y) = 45 Por lo que la suma de los puntos que hace un padre y un hijo (y su diferencia) deben de ser divisores de 45. (45, 15, 9, 5, 3 y 1). A partir de aquí y probando las diversas combinaciones se puede deducir que yo soy el padre de José, Pablo es el padre de Luis y Juan es el padre de Julio, quedando de la siguiente manera:
Número de tiros
Padres       Hijos
Juan: 23   José: 6
Pablo: 7   Julio : 22
Yo: 9        Luis: 2
Por tanto, el número de puntos
Padres           Hijos
Juan: 529    José: 36
Pablo: 49    Julio: 484
Yo: 81        Luis: 4
Luego, el número total de tiros es 69 y el número total de puntos es 1183.

 

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14-16 Problema nº 4 - Cinturón a la Tierra

 Imaginemos un cordel que envuelve como un cinturón ajustado la Tierra a o largo del ecuador. Añadámosle un metro a ese cordel. ¿Cuán flojo quedará ahora? La intuición indicaría que la holgura que se obtiene es pequeñísima, pero más inquietante es pensar que si ajustamos un cordel alrededor de una naranja y le agregamos luego un metro, la holgura es la misma en ambas situaciones. ¿Será cierto?
Observación: Entiéndase por holgura la distancia de la superficie de la Tierra (o de la naranja) al cordel que lo rodearía si formase una circunferencia perfecta (y el ecuador de la tierra fuese también una circunferencia perfecta).

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Solución:

Siendo R el radio de la esfera (la Tierra o la naranja), medido en metros, el cordel ajustado mide 2пR. Cuando le agregamos un metro el cordel pasa a medir 2пR + 1.
El radio de la nueva circunferencia, será: (2пR + 1)/( 2п). Así la holgura, es decir, la diferencia de los radios será en ambos casos: (2пR + 1)/( 2п) – R = 1/2п ≈ 0,159115 metros, es decir la holgura en ambos casos será de unos 15,91 centímetros… Impresionante ¿verdad?

 

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