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Regreso

Sociedad Castellano Manchega Profesores Matemáticas

Problemas propuestos para la Segunda fase de la X Olimpiada Matemática Provincial de Guadalajara

Resolución óptima 800x600

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Problemas de nivel 12 - 14 Problemas  y soluciones del ciclo 12 - 14 años
Problemas de nivel 14 - 16 Problemas  y soluciones del ciclo 14 - 16 años

 


 

Ciclo 12 - 14: Problemas de la Segunda fase  Provincial

 

Semifinal 12/14 - Problema nº 1 - ¿qUIÉN ES QUIÉN?

Con las pistas que te damos intenta rellenar la siguiente tabla:

 

Nombre

Deporte

Edad

Residencia

Profesión

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  a) El que juega al tenis no se llama Rodrigo
b) Mario tiene 6 años menos que el mayor y vive en Cuenca
c) El que practica voleibol vive en Ciudad Real.
d) El mecánico tiene 26 años.
e) El que vive en Ciudad Real tiene 4 años más que el enfermero.
f) El que juega a fútbol no es arquitecto y vive en Guadalajara.
g) Iván es el mayor de los tres.
h) En Ciudad Real no vive el mayor.
 

 Solución:

            Nombre

Deporte

Edad

Residencia

Profesión

Mario

Tenis

20

Cuenca

Enfermero

Rodrigo

Voleibol

24

Ciudad Real

Arquitecto

Iván

Fútbol

26

Guadalajara

Mecánico

 

Semifinal 12/14 - Problema nº 2 - CUADRADOS ENCADENADOS

Dado un cuadrado ABCD cuya área es la unidad, y un arco DB con centro en A, ¿cuál es la medida del segmento CG?

Solución:

Como el área del cuadrado ABCD es la unidad, su lado también mide la unidad. El segmento GA mide, asimismo, la unidad y, por tanto, CG = CA – GA = CA – 1

Además, CA es la diagonal del cuadrado, hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos lados miden 1.

Por Pitágoras CA= .     Luego CG =

 

Semifinal 12/14 - Problema nº 3 - EL EPITAFIO DE DIOFANTO

La historia ha conservado pocos datos biográficos de Diofanto, notable matemático de la antigüedad. Todo lo que se sabe sobre él se ha cogido de la dedicatoria que figura en su sepulcro:

“¡Viajante! Aquí se sepultaron los restos de Diofanto. Y los números pueden mostrar cuán larga fue su vida. La sexta parte de la cual ocupó su infancia. Había transcurrido después una doceava parte de su vida cuando de pelo se cubrió su barba. A partir de ahí, pasó la séptima parte de su existencia hasta contraer matrimonio y, cinco años después de casarse, nació su precioso primogénito, cuya vida duró nada más que la mitad de la de su padre. Y con pregonada pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años a la muerte de su hijo”.

 a)      ¿A qué edad murió Diofanto?

b)      ¿A qué edad se casó y a cuál tuvo su hijo?

c)      ¿Qué edad tenía el hijo al morir?

 Solución:

Si llamamos x a la edad de Diofanto, debemos resolver la siguiente ecuación:

, que da, como resultado, x = 84.

Por tanto, Diofanto murió a la edad de 84 años, se casó a los 33 años, tuvo su hijo a los 38 años y tenía 80 años cuando falleció su hijo.

 Semifinal 12/14 - Problema nº 4 -NÚMERO DIVISIBLE

¿Cuántos números de 6 cifras puedes escribir con los dígitos 1,2,3,4,5 y 6 (sin repetirse), de forma que:

 

a)      El número formado por sus 2 primeras cifras sea divisible por 2

b)      El número formado por sus 3 primeras cifras sea divisible por 3

c)      El número formado por sus 4 primeras cifras sea divisible por 4

d)      El número formado por sus 5 primeras cifras sea divisible por 5

e)      El número formado por sus 6 cifras sea divisible por 6

Solución:

De las condiciones a), c) y e) deducimos que las cifras pares están en la 2ª, 4ª y 6ª posición y, además, de d) tenemos que la quinta cifra es un 5. Tanteamos las posibles soluciones:

 

 

 

 

 

 

Luego las posibles soluciones son 321654 y 123654, por lo que sólo existen dos números de seis cifras que cumplan esas condiciones.

 

 


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Ciclo 14 - 16 : Problemas de la Segunda fase  Provincial

Semifinal 14/16 - Problema nº 1 -  Nico, el tío de los nueves:

Nico escribió el número n de 100 cifras todas iguales a 9. A continuación, calculó n2 y finalmente halló la suma de todos los dígitos de n2. Determinar el valor de la suma que halló Nico.

número azul desaparece 9número azul desaparece 9número azul desaparece 9

 Solución:

Multipliquemos:                                        9999…….9999

                                                           x    9999…….9999

                                                               89999…….9991

  89999…….9991

89999…….9991

………………...

                                      89999…….9991

                                    89999…….9991_____________                

Sumando:                    999999…..999980000…..00001

Es decir 99 nueves seguidos de un 8 seguido de 99 ceros y un uno como unidad.

Así la suma de los dígitos de n2 es de 900.

  

Semifinal14/16 - Problema nº 2 -Rectángulo desmedido:

Sea ABCD un rectángulo de lados AB = 16 y BC = 20. Sea E el punto medio del lado AB y F el punto en el que la perpendicular a EC trazada por E corta al lado DA. Calcular la medida del segmento FD.

 3d216.gif (4843 bytes)

Solución:

Llamemos FD = x

Sabemos que AF = 20 – x, que AE = 8, que BE = 8 y que BC = 20

Como AÊF + BÊC = 90º => AÊF = BCÊ, y por tanto los triángulos AEF y BCE son semejantes, por lo que: 8/20 = (20-x)/8. Así 64=20(20-x) ® 64 = 400 – 20x ®20x = 336, siendo la medida del segmento FD de este rectángulo “desmedido” x= 84/5 = 16,8.

 

 

 Semifinal14/16 - Problema nº 3 - Cenando en el restaurante

Armando, Basilio, Carlos y Dionisio fueron, con sus mujeres, a comer. En el restaurante, se sentaron en una mesa redonda, de forma que:

- Ninguna mujer se sentaba al lado de su marido.32bm1bmv.gif (3584 bytes)

- Enfrente de Basilio se sentaba Dionisio.

- A la derecha de la mujer de Basilio se sentaba Carlos.

- No había dos mujeres juntas.

¿Quién se sentaba entre Basilio y Armando? 

Solución:

Llamemos A a Armando y A´ a su esposa, B a Basilio y B´ a su esposa, C a Carlos y C´ a su esposa y D a Dionisio y D´ a su esposa.

 Al no haber dos mujeres juntas, tampoco hay dos hombres juntos, y como no pueden estar sentados al lado de sus maridos, se tiene que, como B se sienta enfrente de D, D´ estará junto a B y B´ estará junto a D. Como a la derecha de B´ esta sentado C entonces B´ tendrá a su izquierda a D, y entonces enfrente de C estará el cuarto hombre, A. Como sólo quedan tres sitios libres y dos de ellos están junto a A, entonces A´ se sentará en el otro, es decir, a la derecha de C. Por último B´ sólo podrá sentarse a la derecha de D y el hueco libre a la derecha de A será para C´, quedando la situación como indica el gráfico:

 

 

 

Es claro que, entonces, entre Basilio y Armando se sienta la mujer de Dionisio.

 

 

 

 Semifinal14/16 - Problema nº 4- Balanzas:

La figura muestra 5 balanzas con objetos y los pesos totales en cada balanza:

 

110 g          80 g        140 g      130 g         100 g

Una de las balanzas funciona mal y las otras 4 indican el peso correcto. Determinar cuál es la balanza que funciona mal y hallar los pesos de cada objeto©, ¨ yª.

ACLARACIÓN: Todos los © son de igual peso, y lo mismo ocurre con todos los ¨ y todos losª.

 

Solución:

Si consideramos:          ¨ = x, © = y, ª = z, entonces planteamos el sistema:

2x + 3y =110

2x + 2y = 80

3x + y + 3z = 140

4x + 2z =130

x + 5z =100

Si consideramos que las dos primeras balanzas están bien, entonces se deduciría que:

x = 10, y = 30. Y usando la tercera balanza  30 + 30 + 3z = 140 => z=80/3 pero entonces 40 + 160/3 = 130 !!! y 10 + 400/3 = 100 !!! (y la 4ª y la 5ª balanza no pueden estar mal a la vez) Por tanto una de las tres primeras balanzas ha de estar mal. Sabiendo que la 3ª y la 4ª balanza funcionan bien deducimos:

4x + 2z = 130

-4x – 20z = -400

      -18z = -270 es decir, z= 15 de donde se deduce que x = 25

Si ahora sustituimos en las ecuaciones asociadas a las tres primeras balanzas descubrimos que:

50 + 3y = 110 => 3y = 60 => y = 20

50 + 2y = 80 => 2y = 30 => y = 15

75 + y + 45 = 140 => y = 20

Y por lo tanto es la segunda balanza la que funciona mal, siendo los pesos de cada objeto:

¨ = x = 25 gramos,     © = y =  20 gramos     , ª = z = 15 gramos.

 

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