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Sociedad Castellano Manchega Profesores Matemáticas

Problemas propuestos para la 1ª fase de la X Olimpiada Matemática Provincial de Guadalajara

Resolución óptima 800x600

Problemas de nivel 12 - 14Bases de la X Olimpiada Matemática de Guadalajara

Problemas de nivel 14 - 16 Primera fase, ciclo 12 - 14 años - Problemas Propuestos y Soluciones

Problemas de nivel 14 - 16 Primera fase, ciclo 14 - 16 años - Problemas Propuestos y Soluciones

Problemas de nivel 14 - 16 Acceso a la Segunda fase- Problemas Propuestos y Soluciones

Problemas de nivel 14 - 16 Acceso a la Tercera fase- Problemas Propuestos y Soluciones


 

Bases

 

1.      La Olimpiada está dirigida a los alumnos y alumnas de primer y segundo ciclo de Educación Secundaria Obligatoria de la provincia. La participación en la misma irá canalizada a través del profesorado de Matemáticas de los centros públicos, concertados y privados de la provincia de Guadalajara.

 

2.      Se establecen dos niveles correspondientes al 1º y 2º ciclo de Educación Secundaria Obligatoria.

 

3.      La Olimpiada Provincial constará de tres fases. La 1ª fase tendrá lugar en el propio centro escolar (hasta el 6 de Marzo-09). En esta fase cada centro podrá seleccionar como máximo a tres alumnos/as por cada ciclo. La segunda fase tendrá lugar en el C.E.P. de Guadalajara con los finalistas de la fase anterior. La fecha para esta 2ª fase es el miércoles 1 de Abril-09. De ella saldrán 10 finalistas por cada ciclo que pasarán a la 3ª fase. Ésta se llevará a cabo en la V Jornada Matemática, que se celebrará en Molina de Aragón, el sábado 9 de Mayo-09.

 

4.      La participación del alumnado será voluntaria, si bien debe estimularse la más amplia participación posible en los centros.

 

5.      Los premios a los finalistas de la segunda y tercera fase, quedarán a cargo de la Comisión Organizadora de la Olimpiada. La entrega de premios a los participantes y ganadores en la X Olimpiada tendrá lugar el 20 de mayo de 2009 (el lugar ya se concretará).

 

6.      El profesorado que constituye la Comisión Organizadora de la Olimpiada (formada por profesores/as de matemáticas de la provincia), será el encargado de proponer los problemas de la segunda fase y de la fase final y examinar las soluciones, así como de resolver las cuestiones imprevistas en las presentes bases.

 

7.      En la X Olimpiada Matemática Regional, prevista para el fin de semana del 6 y 7 de junio en Albacete, podrán participar tres alumnos/as de cada ciclo representando a la provincia de Guadalajara.

 

8.      Los tres finalistas de la X Olimpiada Regional del primer ciclo participarán en la XX Olimpiada Nacional que tendrá lugar del 23 al 28 de junio en Canarias.

 

9.      La participación en la Olimpiada supone la plena aceptación de estas bases.

 

 

 

Ciclo 12 - 14   (Primera Fase)

 

1ª fase 12/14  Problema nº 1-  Fila india

Cinco amigos, Antonio, Benita, Casta, Darío y Eugenia, se colocan en "fila india", pero tú no sabes el orden en que están colocados. Están contando: el 1º dice 5, el 2º dice 10, el 3º dice 15, el 4º dice 20, el 5º dice 25, el 1º sigue con 30... y siguen contando de 5 en 5. Antonio ha dicho 140; Benita 160; Casta 130 y Darío 170.
a) ¿En qué orden se encuentran colocados los amigos en la fila?
b) ¿Quién de ellos diría 1.755?
 

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1ª fase 12/14 Problema nº 2 - Los zánganos

Los zánganos (abejas macho) nacen de huevos sin fecundar (tienen madre pero no padre). Las abejas hembra nacen de huevos fecundados (tienen padre y madre).

a) ¿Cuántos antepasados tendrá un zángano de la duodécima generación?.

b) ¿Cuántos de ellos serán machos?

2473         2473

 

1ª fase 12/14 - Problema nº 3 - PESOS PESADOS

Con los datos de las figuras, contesta a las siguientes preguntas:                              

a) ¿Cuánto pesan juntos el chico, la chica y el perro?

b) ¿Cuánto pesa cada uno de ellos?

1ª fase 12/14 - Problema nº 4 - PESOS PESADOS

Se han medido las dimensiones de un ladrillo con agujeros y se han obtenido las medidas indicadas en la figura. Calcula cuánto pesa este ladrillo, sabiendo que 1cm3 del material con que se ha fabricado pesa 2,15 gramos.

 

SOLUCIONES PRIMERA FASE

1er ciclo 

* Problema 1: FILA INDIA

a) ¿En qué orden se encuentran colocados los amigos en la fila?

Como los cinco amigos van contando de cinco en cinco, para saber qué posición ocupan basta con dividir entre cinco dos veces, una primera para conocer cuál es el cociente (todos los números que dicen son múltiplos de 5) y una segunda vez para fijarnos en el resto:

- Antonio ha dicho 140, por tanto 140:5 = 28 y queda de resto 0. Volvemos a dividir 28:5 = 5 y queda de resto 3. Por tanto Antonio ocupará el tercer lugar

- Benita ha dicho 160, 160:5 = 32 y queda de resto 0. Dividimos 32:5 = 6 y queda de resto 2. Así pues, Benita está en segundo lugar.

- Casta dice 130, 130:5 = 26 y queda de resto 0. Dividimos 26:5 = 5 y resto 1, luego Casta ocupa el primer lugar.

- Darío dice 170, 170:5 = 34 y 34:5 = 6 y resto 4, por lo que Darío ocupa el cuarto lugar.

- El quinto lugar lo ocupará, por eliminación, Eugenio.

Están colocados de la siguiente forma: Casta, Benita, Antonio, Darío y Eugenio.

b) ¿Quién de ellos diría 1.755?

1755:5 = 351 y 351:5 = 70 y resto 1, por tanto el 1755 lo dirá el amigo que esté en la primera posición, es decir, Casta.

* Problema 2: LOS ZÁNGANOS

a) ¿Cuántos antepasados tendrá un zángano de la duodécima generación?.

Si escribimos en forma de tabla las generaciones sucesivas, tenemos:

Generación

Antecesores macho (Z)

Antecesores hembra(O)

Total antecesores

0

1

1

1

1

2

1

2

3

2

3

5

3

5

8

5

8

13

8

13

21

13

21

34

21

34

55

10ª

34

55

89

11ª

55

89

144

12ª

89

144

233

b) ¿Cuántos de ellos serán machos?

Como vemos en la tabla anterior, 89 antecesores serán machos.

* Problema 3: PESOS PESADOS

Con los datos de las figuras, contesta a las siguientes preguntas:

a) ¿Cuánto pesan juntos el chico, la chica y el perro?

Es claro que si sumamos los pesos que aparecen en las tres básculas, obtenemos el doble de la suma de pesos que buscamos (ya que sumamos dos veces cada uno de los pesos de los tres personajes). Por tanto, lo que pesan juntos el chico, la chica y el perro será

b) ¿Cuánto pesa cada uno de ellos?

• Peso del perro = Suma de los tres juntos (el resultado anterior) – 1ª viñeta (lo que pesan el chico y la chica) = 57 – 50 = 7 Kg

• Peso del chico = Suma de los tres juntos (el resultado anterior) – 2ª viñeta (lo que pesan el perro y la chica) = 57 – 29 = 28 Kg

• Peso de la chica = Suma de los tres juntos (el resultado anterior) – 3ª viñeta (lo que pesan el perro y el chico) = 57 – 35 = 22 Kg

* Problema 4: EL LADRILLO

Se han medido las dimensiones de un ladrillo con agujeros y se han obtenido las medidas indicadas en la figura. Calcula cuánto pesa este ladrillo, sabiendo que 1cm3 del material con que se ha fabricado pesa 2,15 gramos.

Primero se calcula el volumen del ladrillo sin los agujeros. Se trata del volumen de un paralelepípedo, por lo que

Después calculamos el volumen de cada agujero y lo multiplicaremos por el total de número de agujeros -que son 14-. Como el volumen de cada agujero es el volumen de un cilindro tenemos que

El volumen total del ladrillo es el volumen del paralelepípedo menos 14 por el volumen de cada agujero, esto es Vt = Vp – 14·Vc = 18886,5 – 692,72 = 1.193,78 cm3

Como cada cm3 de ladrillo pesa 2,15 gramos lo multiplicamos por el volumen total por lo que tenemos que el peso definitivo del ladrillo es 2.566,62 gr = 2,567 kg.


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Ciclo 14 - 16   (Primera Fase)

 

1ª fase 14/16 - EL CUADRITRIÁNGULO

Sabemos que el cuadrado y el triángulo isósceles que ves en la figura tienen la misma área.

Expresa el valor de b en función del lado a.

1ª fase 14/16 -  LA MONEDA FALSA

Tengo ocho monedas, todas iguales de aspecto y de peso. Una, sin embargo, es falsa y su peso es distinto al de las otras. ¿Es posible saber cuál es la moneda falsa realizando solamente tres pesadas con una balanza de dos platillos?. ¿Puedes decirnos si la moneda falsa pesa más o pesa menos que las demás?

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1ª fase 14/16 - VACAS LECHERAS

Cuatro vacas blancas y tres vacas negras dan tanta leche en cinco días como tres vacas blancas y cinco negras en cuatro días ¿Qué clase de vaca es la más lechera, la blanca o la negra?

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1ª fase 14/16 LOS NÚMEROS DABUTEN

Llamaremos números "dabuten" a aquellos enteros positivos tales que la suma de sus cifras coincida con nuestra edad. Por ejemplo, si una persona tiene 14 años, los números 167, 1094 y 12341111 son de esa clase.

a) ¿Cuántos números dabuten de dos cifras tendrá Alejandro, que acaba de cumplir 14 años?

b) Si elijo un número al azar de entre 00 y 99, ¿qué edad tiene más posibilidades de que ése sea uno de sus números dabuten?

 

211214

 

 

SOLUCIONES PRIMERA FASE

 2º ciclo

 

* Problema 1: EL CUADRITRIÁNGULO

Sabemos que el cuadrado y el triángulo isósceles que ves en la figura tienen la misma área. Expresa el valor de b en función del lado a. Si las áreas del cuadrado y el triángulo son iguales, tenemos: siendo h la distancia en perpendicular del lado del cuadrado al vértice del triángulo.

Se obtiene así que a=h, y considerando ahora semejanza de triángulos, tendremos que Como  a=h,, tendremos es decir a=2b, por lo que

* Problema 2: LA MONEDA FALSA  

Se apartan dos monedas y se colocan las 6 restantes en la balanza, tres en cada plato, para realizar la primera pesada. Veamos las dos posibilidades:

* Si la balanza está equilibrada, la moneda falsa está entre las dos que hemos retirado. Para ver cual de las dos es la falsa, colocamos una de las dos monedas que hemos apartado al inicio en uno de los platos de la balanza y en el otro una de las seis monedas que acabamos de ver que son iguales.

En esta segunda pesada, pueden pasar dos cosas:

Que la balanza está equilibrada, lo que significaría que la moneda falsa es la que nos queda por pesar.  Y para ver si pesa más o pesa menos, la pesamos –realizando una tercera pesada– colocando en un platillo dicha moneda y en el otro una de las siete monedas iguales y vemos si el platillo de la moneda falsa sube (lo que indicaría que pesa menos) o baja (lo que indicaría que pesa más).

Que la balanza no esté equilibrada, lo que significaría que la moneda falsa es la que hemos pesado. Y sin tener que hacer una tercera pesada, podemos saber si pesa más o menos viendo cómo han quedado los platillos en la segunda pesada. Si el platillo de la moneda falsa ha subido indicaría que pesa menos y si ha bajado indicaría que pesa más.

** Si la balanza no estuviera equilibrada quiere decir que la moneda falsa está entre las seis que hemos pesado y que las otras dos son iguales. Para ver cuál de las seis es la falsa, cogemos las monedas del platillo que ha pesado más (se puede hacer también, razonando de una forma parecida, cogiendo las del platillo que ha pesado menos) y realizamos una segunda pesada colocando en un platillo dos de esas monedas (llamémoslas 1 y 2) y en el otro platillo la tercera moneda (llamémosla 3) y una de las que sabemos que es igual (una de la separadas inicialmente).

Como vemos, hemos dejado las monedas del platillo que ha pesado menos (y que llamaremos 4, 5 y 6). Ahora tenemos tres posibles resultados:

Que el platillo de las monedas 1 y 2 pese más: es claro que la moneda falsa pesa más que las demás y que tiene que estar entre la 1 y la 2.

Realizando una tercera pesada entre estas dos, vemos cuál es la que pesa más, siendo esa la moneda falsa.

Que el platillo de las monedas 3 y una igual pese más: es claro que la moneda 3 es la falsa, y además pesa más que las demás (la 1 o la 2 no pueden pesar menos de lo normal ya que si no, en la primera pesada, su platillo no hubiera pesado menos)

Que la balanza quede equilibrada: esto quiere decir que la moneda falsa está entre las tres que hemos retirado (la 4, 5 ó 6) y que pesaban menos, lo que significa que la moneda falsa pesa menos que las otras. Para ver cuál es la falsa necesitamos hacer una tercera pesada colocando en cada platillo una única moneda. Colocamos, por ejemplo, la 4 en un platillo y la 5 en el otro. Tenemos, de nuevo, dos posibilidades:

Que la balanza se incline, lo que indica que la moneda falsa es la que esté colocada en el platillo que se ha quedado más alto (ya que pesa menos).

Que la balanza esté equilibrada, lo que indica que la moneda falsa es la otra, la 6 (que, como ya hemos dicho, debe pesar menos que las otras)

 

* Problema 3: VACAS LECHERAS

Cuatro vacas blancas y tres vacas negras dan tanta leche en cinco días como tres vacas blancas y cinco negras en cuatro días ¿Qué clase de vaca es la más lechera, la blanca o la negra?

Solución:

x = litros de la vaca negra por día  y = litros de la vaca blanca por día.

Problema 4: LOS NÚMEROS DABUTEN

Llamaremos números "dabuten" a aquellos enteros positivos tales que la suma de sus cifras coincida con nuestra edad. Por ejemplo, si una persona tiene 14 años, los números 167, 1094 y 12341111 son de esa clase.

a) ¿Cuántos números dabuten de dos cifras tendrá Alejandro, que acaba de cumplir 14 años?

Solución: Solamente hay 5 números dabuten, 59, 68, 77, 86 y 95.

b) Si elijo un número al azar de entre 00 y 99, ¿qué edad tiene más posibilidades de que ése sea uno de sus números dabuten?

Solución:

  1. a) Es sencillo, según muestra la siguiente tabla. El número más veces sumado sería el 9.

 

 

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