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Ciclo 12 -
14 ( Tercera Fase) 12-14
Problema nº 1 - Montones
de Cerillas:
Tengo 48 cerillas y con ellas hago tres montones. El número de cerillas
de cada montón es una incógnita, pero cumplen una extraña propiedad: si
al segundo montón paso del primero tantas cerillas como hay inicialmente
en ese segundo montón y del segundo montón paso al tercero tantas
cerillas como hay inicialmente en ese tercer montón y, por último, del
tercer montón paso al primero tantas cerillas como queden en ese primer
montón, tendré en los tres montones la misma cantidad de cerillas.
¿Cuántas cerillas tengo al principio en cada montón?
Solución:
Es obvio que al final tendría tres montones con 16 cerillas en cada una.
Vamos a reconstruir las situaciones que se han ido dando considerando
que teníamos X Y y Z cerillas en cada montón en la situación inicial:
Pasos 1er Montón 2º Montón 3er Montón
Primero X Y Z
Segundo X - Y 2Y Z
Tercero X - Y 2Y - Z 2Z
Al final 2(X-Y) 2Y - Z 2Z – (X – Y)
De donde se deduce que como todos los montones tienen 16 cerillas:
2X – 2Y = 16
2Y – Z = 16
-X + Y + 2Z = 16
Resolviendo dicho sistema se obtiene que X = 22, Y = 14, Z = 12, es
decir, en el primer montón tengo 22 cerillas, en el segundo tengo 14 y
en el tercero tengo 12.
12-14 Problema nº 2 -
Perlas y princesas:
Un día un Rajá dejó en herencia cierto número de perlas que había que
repartir entre sus hijas de la siguiente manera: La primera una perla y
un séptimo de las restantes; la segunda dos perlas y un séptimo de las
restantes; la tercera tres perlas y un séptimo de las restantes; y así
para todas las princesas.
Todas las princesas, que no sabían muchas matemáticas, se sintieron
perjudicadas y acudieron a un sabio de la corte para oír su opinión.
Después de cavilar durante un ratito, el sabio dictaminó que esa forma
de repartir las perlas aseguraba que todas se llevarían el mismo número.
¿Cuántas perlas y princesas hay?
Solución:
Consideremos que el número total de perlas es
x. A la primera princesa le corresponderían: 1 + (x-1)/7, es decir (x +
6)/7 por lo que quedarían: x – [(x + 6)/7] para el resto, es decir: (6x
– 6)/7. Así, a la segunda hija le correspondería: 2 + [((6x – 6)/7 –
2)/7], es decir: (6x – 78)/49. Pero sabiendo que finalmente todas las
hijas tendrán las mismas perlas, se tiene que (x + 6)/7 = (6x + 78)/49
de donde se obtiene que 7x + 42 = 6x + 78 y por tanto: x = 78 – 42, es
decir, x = 36. Hay 36 perlas en total. Pero teniendo en cuenta que la
primera princesa se llevaría 1 + 35/7 perlas, es decir 1 + 5, esto es, 6
perlas, entonces habrá 36/6 princesas. Así se demuestra que cada una de
las 6 princesas se llevará 6 perlas.
12-14 Problema nº 3 -
Los cuatro amigos:
Una noche, al acabar de ver una función del teatro, cuatro amigos,
Antonio, Blas, Juan y Luis, acuden a recoger del guardarropa sus prendas
de abrigo: una cazadora, una bufanda, una gabardina y un chaquetón de
cuero.
- “Vosotros pagaréis por mí, pues no he traído dinero” - comenta uno
mientras se pone su chaquetón. Y Blas, obediente, paga el guardarropa.
- “Me he divertido mucho” - dice Luis, dirigiéndose a uno de sus amigos
que acababa de ponerse la cazadora.
- “Lo que yo siento es que voy a helarme con la prenda de menos abrigo
de todas”- comenta Antonio con Luis, al tiempo que Luis se dispone a
recibir el cambio de un billete de 5€.
¿Quién es el propietario de cada prenda?
Solución:
Como Blas paga, el chaquetón
no puede ser suyo. Como Luis habla al de la cazadora, ésta no puede ser
suya. Antonio se queja por su prenda de abrigo de donde se deduce que la
bufanda es suya. Y como Antonio devuelve dinero a Luis, Luis sí ha
pagado, por lo que el chaquetón tampoco es suyo, y por lo tanto el
chaquetón ha de ser de Juan. Pero entonces la cazadora será
obligatoriamente de Blas y por tanto la gabardina será de Luis.
 
 
12-14 Problema nº 4 El
gran champiñón:
 El
lado del cuadrado mide 10 cm. Las líneas curvas son arcos de
circunferencia. ¿Cuál es el área total de la parte rayada?
Solución:
Para calcular el área de la
parte rayada partimos del área del cuarto de circunferencia que genera
el arco con centro en O y radio 10 cm. que tiene como área 25п cm2.
Si le restamos a ésta área las dos medias circunferencias de radio 5 cm.
(que tendrían centro en M y N) habremos quitado dos veces “el tronco del
champiñón” con lo que habrá que sumárselo dos veces para obtener el área
total de ese champiñón.
Para calcular el área del
tronco del champiñón pensamos en el cuadrado de lado 5 cm. que se genera
con los lados OM y ON. Ese cuadrado tiene área 25 cm2. que
si se la restamos a la media circunferencia de radio 5 cm. (dos cuartos
de circunferencia de centro M y radio MO y centro N y radio NO)
obtenemos el área del tronco del champiñón que es 25п/2 – 25 ≈ 14,2699
cm2. Por tanto el área total del champiñón será: 25п - 25п +
2(25п/2 – 25) ≈ 28,5398 cm2.
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Ciclo
12 - 14 años
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