Ciclo 12 - 14:
Problemas de la Segunda fase Provincial
final 12/14 - Problema nº 1 - LA HACIENDA:
El amo
de una hacienda contrata a un sirviente por un sueldo anual de un caballo y
25 monedas de oro. A los cinco meses el trabajador se despide. Recibe como
pago el caballo y cuatro monedas de oro. ¿En cuantas monedas de oro está
valorado el caballo?
final 12/14 - Problema nº 2 -
CIRCUNFERENCIAS:
Si el
radio de la circunferencia menor es 1, haya el perímetro externo de toda la
figura. Haya también el área total de la figura.
final 12/14 - Problema nº 3 -
EL CAMPESINO Y EL DIABLO:
Caminaba un
campesino quejándose de lo pobre que era, cuando de pronto se le apareció el
diablo y le propuso lo siguiente:
“Ves
aquel puente, si lo pasas en cualquier dirección duplicaré el dinero que
tenías antes de pasarlo, pero la única condición que te impongo a cambio es
que cada vez que cruces el puente deberás lanzar 24 € al agua”
El campesino muy contento, cruzó el puente y comprobando que su dinero se
había duplicado lanzó los 24 € prometidos al agua, y cruzó dos veces más el
puente cumpliendo lo prometido y asombrado se dio cuenta que se había
quedado sin dinero. ¿Cuánto dinero tenía el campesino al principiofinal 12/14 - Problema nº 4-
LOS TRES MATRIMONIOS:
Los
señores López, Pérez y Gómez son el médico, el farmacéutico y el practicante
de un pueblo. Al terminar el año se reúnen con sus respectivas esposas para
cenar. El médico se sentó al lado de su esposa, en cambio la señora de López
quedó sentada algo lejos de su esposo, ya que se sentó entre el farmacéutico
y el señor Gómez. ¿Cuál es la profesión de cada uno de estos caballeros?
SOLUCIONES
SEGUNDA FASE
* LA
HACIENDA
Llamemos x al número de monedas de oro a las
que equivale el caballo.
Dado que el sirviente trabaja cinco doceavos de año, cobrará cinco doceavos
del sueldo previsto, que equivale al caballo y a cuatro monedas más.
Resolviendo la ecuación:
5(x + 25) / 12 = x + 4; 5x + 125 = 12x +48; 77 = 7x; x = 11; Por tanto
el caballo está valorado en 11 monedas de oro.
* CIRCUNFERENCIAS
Dado que la circunferencia pequeña interseca a
la grande en dos puntos que al unirlos se forma un diámetro de la pequeña, y
que además pasa por el centro de la circunferencia grande, es sencillo
pensar en el arco que desde el centro de la circunferencia grande se genera
con los puntos de intersección, es un arco capaz de 90 grados. Por tanto,
pensando en el triángulo rectángulo isósceles que se genera es fácil
observar como el radio de la circunferencia grande, R cumple por el Teorema
de Pitágoras: R2 + R2 = 22
Así se observa que R = √2. por tanto, el perímetro se compone de ¾ partes de
la circunferencia de radio √2 y ½ circunferencia de radio 1. Así el
perímetro total asciende a: 3√2π/2 + π ≈ 9,805917061. El área total de la
figura es igual a ¾ partes del área de la circunferencia mayor, ½ de área de
la menor y el área del triángulo rectángulo isósceles de catetos √2. Por
tanto el área total asciende a 3π/2 + π/2 + 1 = 2π + 1 ≈ 7,283185307.
* EL CAMPESINO Y EL DIABLO
Supongamos que el campesino en un primer momento tenía
x euros. Tras atravesar el puente por primera vez y cumplir con lo indicado
por el diablo, el campesino tenía:
2x – 24, tras atravesar de nuevo el puente y cumplir lo
prometido el campesino tenía: 2(2x – 24) - 24 = 4x – 72 euros. Y así al
atravesar de nuevo el puente y al lanzar los 24 € prometidos se quedó con 0€
ya que: 2(4x -72) – 24 = 0; 8x – 168 = 0; es decir que:
X = 21 €. Así se demuestra que el campesino
inicialmente poseía 21 euros.
*
LOS TRES MATRIMONIOS
Para abreviar L = López, P = Pérez y G = Gómez
Como el médico se sentó con su esposa y la señora de L
se sentó lejos de su marido, el señor L no puede ser el médico. El señor G
tampoco pueden ser el farmacéutico, ya que cada uno de ellos estaba sentado
a un lado distinto de la señora L. También de dicha afirmación se deduce que
el farmacéutico tampoco es el señor L ya que su esposa no se sienta junto a
él, pero sí junto al farmacéutico. Por tanto el señor L ha de ser
obligatoriamente el practicante del pueblo y el farmacéutico
obligatoriamente será el señor P. Por descarte, el señor G será el médico.
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Problemas y soluciones del ciclo 12 - 14 años
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