Regreso
Regreso |
Problemas propuestos para la 1ª fase de la IX Olimpiada Matemática Provincial de Guadalajara |
| Resolución óptima 800x600 |
Primera fase, ciclo
12 - 14 años - Problemas Propuestos
y Soluciones Primera fase, ciclo
14 - 16 años - Problemas Propuestos y Soluciones
1ª fase 12/14 Problema nº1- CORDONES Existen múltiples maneras de anudarse los cordones de los zapatos. Entre éstas podemos diferenciar 3: la manera europea, la manera americana y la manera en que los suelen anudar en las zapaterías:  ¿Sabrías decir cuál de éstas requiere los cordones más largos, y cuál necesita menos? ¿Te atreverías a conjeturar cuál es, de entre todas las maneras posibles de anudarse los cordones, la que necesita los cordones menos largos?
|
|
|
1ª fase 12/14 Problema nº2 - LA FIESTA Isa invitó a 17 amigos a su fiesta. Asignó a cada invitado un número desde el 2 hasta el 18, reservándose el 1 para sí misma. Cuando todo el mundo estaba bailando, se dio cuenta de que la suma de los números de cada pareja era un cuadrado perfecto.¿Cuál es el número de la pareja de Isa?
1ª fase 12/14 - Problema nº3 - EN EL RESTAURANTE Después de una dura mañana en la Facultad de Informática, Álvaro, Daniel, Paco, Enrique, Carmen y Luis se encuentran en el comedor. Sabemos que:
Entonces, ¿quién ha pedido el bistec? ¿Y los caracoles?
SOLUCIONES PRIMERA FASE1er ciclo
* CORDONES
Se calcula, utilizando el Tª de Pitágoras, el valor de los trozos de cordón que forman los triángulos rectángulos que aparecen en las diferentes formas de anudarse.
La manera europea de anudarse los cordones mide:
La manera americana de anudarse los cordones mide:
La manera de las zapaterías mide
Por tanto, los cordones más largos serían necesarios para la forma de anudarse en las zapaterías y los cordones más cortos se anudarán con la manera americana.
La pregunta final, es abierta a las soluciones y la imaginación de los alumnos.
* LA FIESTA
Como debemos emparejar los números del 1 al 18 de modo que sumen cuadrados perfectos, hemos de pensar primero cuáles son los cuadrados perfectos que se pueden formar como suma de dos números inferiores a 18, que son: 1, 4, 9, 16 y 25. Comenzando por el 18, enseguida nos damos cuenta de que sólo puede estar emparejado con el 7. De igual forma, para el 17 encontramos que debe estar emparejado con el 8 y el 16 con el 9. Si ahora pensamos en el 2, como no puede emparejarse consigo mismo, ni con el 7 (al estar ya escogido) deberá de ir emparejado obligatoriamente con el 14. De igual modo el 11, al no poder emparejarse con el 14, deberá de ir con el 5. Y vamos viendo que el 4 ha de estar emparejado con el 12, el 13 con el 3 y por último, el 6 con el 10 y el 1 con el 15.
Por tanto, el número de la pareja de Isa, que es la número 1, es el 15. * EN EL RESTAURANTEPara aclarar más los pasos que se van dando, construyamos una tabla:
Como Daniel, Carmen y el aficionado al pescado aprecian el vino blanco, se deduce que Daniel y Carmen no comen pescado (al tratarse de una tercera persona).
Como Paco mira con envidia a las personas que eligieron Jabalí y pato a la naranja, entonces él no está comiendo ninguna de esas dos cosas.
Álvaro y Daniel están situados frente a los que degustan la tortilla de patata y el pato a la Naranja, entonces ninguno de los dos está comiendo esos platos.
Como Álvaro, Paco y Enrique han elegido un plato de carne, no pueden estar comiendo ni el plato de pescado ni el plato de Tortilla ni el plato de caracoles, por lo tanto:
Por lo tanto, como cada uno de ellos ha pedido un plato distinto y se han pedido los seis platos, alguien ha pedido pescado. Al haberse descartado todas las demás posibilidades se obtiene que es Luis quien ha pedido el plato de pescado.
Y como alguien ha pedido un plato de Tortilla, esa ha debido ser Carmen
|
