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Sociedad Castellano Manchega Profesores Matemáticas

Problemas propuestos para la VII Olimpiada Matemática Provincial de Cuenca

Ciclo 12 - 14   

Ciclo 12/14 - Problema nº 1:  MÚLTIPLO DE 6

Calcula el valor de D sabiendo que el número 5DDDD es múltiplo de 6.

SOLUCIÓN

El número tiene que ser divisible por 2 y por 3 luego el número es el 5444. 

Ciclo 12/14 - Problema nº 2: DOS CUADRADOS IGUALAN UN CUADRADO?

a)Aparte de los ángulos rectos sólo existen tres ángulos diferentes determinados por los distintos segmentos que aparecen en la siguiente figura. Identifica, nombrándolos con un mismo color o con una misma letra o de alguna otra manera que se te ocurra, los ángulos que sean iguales y razona por qué lo son.
b) Los cinco trozos en que hemos cortado los dos cuadrados se pueden recolocar para formar un cuadrado mayor. ¿Cuál será el perímetro del nuevo cuadrado?

 

SOLUCIÓN

Área cuadrado=16+9=25

Lado cuadrado=5

Perímetro cuadrado=20

 Ciclo 12/14 - Problema nº 3: LA ESCALADA

Lolo y Lolita son dos escaladores profesionales. Un día Lolo le propone a Lolita el siguiente juego:

“Vamos a subir la vía de las 14 chapas. Ganará el que llegue a la cima (chapa número 14) el primero. Yo empezaré asegurando la primera chapa desde la salida que, como puedes observar en la figura, puede ser cualquiera de las chapas 1, 2 y 3, ya que no se alejan demasiado del suelo. Después tú subirás hasta donde yo esté y pondrás el siguiente seguro. En el croquis puedes observar a qué chapas se tiene acceso desde cada seguro. A continuación yo subiré hasta donde tú estés y pondré el siguiente seguro, y así sucesivamente hasta el final.”
¿Quién crees que tiene ventaja, Lolo o Lolita?
Suponiendo que fueras el escalador que juega con ventaja, ¿qué estrategia seguirías para asegurarte una victoria?

SOLUCIÓN

 Estrategia Ganadora.

Si analizamos las posiciones de arriba hacia abajo veríamos que hay ciertos seguros fatales. Numeradas las chapas del 1 al 14, los seguros fatales son los números:
- 10 porque cualquier movimiento que haga el jugador de turno deja al oponente en situación de ganar.

- 5, 6 porque cualquier movimiento que se haga desde ellos deja al oponente la posibilidad de subir hasta el 10, dejando al jugador de turno en la situación anterior.
- 1 por la misma razón.

Ciclo 14 - 16

Ciclo 14/16 - Problema nº1:  CATETO A RAYAS

En la siguiente figura la superficie de la franja verde grande es de 140 cm2. Los segmentos en que ha quedado dividido el cateto pequeño son iguales entre sí. Lo mismo sucede en el cateto grande. ¿Cuál es la superficie de la franja verde pequeña?

 SOLUCIÓN

Supongamos que los segmentos del cateto grande tienen longitud a y los del cateto pequeño longitud b. Así tendríamos las siguientes relaciones:

Sabemos que S₁ – S₂ = 140 à 3,5ab = 140 à ab = 40

Ciclo 14/16 - Problema nº2: LAS EDADES DE LA FAMILIA.

  Una madre de familia, que ronda la cuarentena, observa que si escribe tres veces seguidas su edad obtiene un número que es igual al producto de su edad  por la de su marido y por las edades de sus cuatro hijos. ¿Qué edades tienen el padre y cada uno de los hijos?

 SOLUCIÓN 

Nos dicen que la madre ronda la cuarentena, supongamos que tiene 39 años, entonces sabemos que el producto de su edad multiplicada por la de su marido y las edades de sus cuatro hijos será 393939, si divido este número entre 39 obtengo 10101, lo mismo ocurre si la madre tiene 38, 37, 36,…y si tiene 40, 41, 42,… Esto indica que el producto de la edad del padre por las de los hijos es 10101. Por tanto el problema se reduce a buscar los divisores de este número.

Descomponiendo factorialmente tenemos 10101=3·7·13·37, ya tenemos la edad del padre: 37 años y la de 3 de los hijos: 3, 7 y 13 años. Como son 4 hijos el cuarto hijo debe tener 1 año (porque 10101=1·3·7·13·37)

Ciclo 14/16 - Problema nº 3:  EL PROBLEMA DE EULER

Al referirse Stendhal en su Autobiografía a sus años de estudiante, escribe lo siguiente:
"En su casa (la de su maestro de matemáticas) encontré a Euler con su problema acerca de los huevos que la campesina llevaba al mercado... Esto fue para mí un descubrimiento. Comprendí lo que significaba valerse de un arma como el Álgebra. Pero ¡demonios!, nadie me lo había explicado antes..."
He aquí el problema de la Introducción al Álgebra de Euler que tan fuerte impresión produjera en Stendhal:
Dos campesinas llevaron en total 100 huevos al mercado. Una de ellas tenía más mercancía que la otra, pero recibió por ella la misma cantidad de dinero que la otra. Una vez vendidos todos, la primera campesina dijo a la segunda: "si yo hubiera llevado la misma cantidad de huevos que tú, habría recibido 15 cruceros". La segunda contestó: "Y si yo hubiera vendido los huevos que tenías tú habría sacado de ellos 6 y cruceros". ¿Cuántos huevos llevó cada una?

SOLUCIÓN 

Supongamos que la primera campesina tenía x huevos. La segunda tendría 100 - x. Si la primera hubiera tenido 100 - x habría sacado de ellos 15 cruceros. Eso quiere decir que la primera campesina vendió los huevos:

cada uno De esta manera vemos que la segunda campesina vendió los huevos a

cada uno.

Hallemos ahora la cantidad obtenida por cada campesina: la primera:

la segunda                   

Y como ambas recibieron lo mismo, entonces

que después de las correspondientes transformaciones resultará

x² + 160x – 8000 = 0,

de donde

x₁ = 40, x₂ = 200.

La raíz negativa carece de sentido en el presente caso. El problema no tiene más que un resultado: la primera campesina llevó al mercado 40 huevos y la segunda 60.

El problema puede resolverse con más brevedad. El procedimiento es más ingenioso, aunque más difícil.

Supongamos que la segunda campesina llevó al mercado k huevos más que la primera. Ambas recibieron por su mercancía la misma suma de dinero.

Esto significa que la primera vendió los huevos k veces más caros que la segunda. Si hubieran cambiado la mercancía, la primera campesina hubiera tenido k veces más huevos que la segunda y los habría vendido k' veces más caros, recibiendo k² más dinero que aquélla. Por lo tanto tendremos:

de donde resulta que

k = 3 / 2

Ahora no nos queda más que dividir los 100 huevos proporcionalmente a 3 y a 2. La primera campesina llevó 40 huevos y la segunda, 60.