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Sociedad CastellanoManchega Profesores Matemáticas

Problemas propuestos para la I Olimpiada Matemática Provincial de Cuenca

Resolución óptima 800x600

 
  Problemas de nivel 12 - 14 Ciclo 12 - 14 años
  Problemas de nivel 14 - 16  Ciclo 14 - 16 años
 

 

Ciclo 12 - 14   

 

Ciclo 12/14 - Problema nº 1: EMPAREJAMIENTOS PERFECTOS

 Justificar si es o no posible distribuir todos los números del  1  al  18  inclusive en nueve pares  (a,b) de modo tal que   a + b  sea un cuadrado perfecto.

 

(Indicación: los cuadrados perfectos que pueden aparecer una o más veces al hacer las sumas son: 22, 32, 42, 52).

 

 

Ciclo 12/14 - Problema nº 2: DIVISIBILIDAD

 Encontrar la suma de todos los números de cuatro cifras que empiezan por  4  y termina por 8:

4       8

y que son divisibles por  2, 3, 4, 6, 8 y 9.

 

 Ciclo 12/14 - Problema nº 3: JARDÍN CIRCULAR

 Queremos sembrar de césped y vallar la parte sombreada de este jardín circular de 24 m de radio. Sabiendo que el coste de sembrar césped es de 100 €/m 2, y el de la valla es de 50 €/m. Calcular cuanto costara realizar todo el trabajo.

 


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Ciclo 14 - 16

 

Ciclo 14/16 - Problema nº1: AZULEJOS

 Este modelo está formado por azulejos negros y blancos. Su anchura es de siete azulejos. En el Ayuntamiento hay un modelo como éste con una anchura de  149 azulejos. ¿Cuántos azulejos contendrá en total?

 

Ciclo 14/16 - Problema nº2: 2002

  Si escribimos todos los números enteros consecutivos, sin ninguna separación entre ellos, a partir del 1 y hasta el  2002, obtenemos un número de muchísimas cifras:

12345678910111213141516171819…………20012002

¿Cuántas cifras tiene ese número?

Está claro que su primera cifra es un  1; también puedes ver que la cifra decimoquinta es un  2. ¿Cuál es la cifra que ocupa el lugar  2002? En ambos casos explica tu razonamiento.

 

Ciclo 14/16 - Problema nº 3: CIRCULOS Y TANGENCIAS

 En una circunferencia de radio  6  inscribimos el triángulo isósceles  PQR  en el que  PQ = PR. Una segunda circunferencia es tangente a la    y tangente a la base  QR  del triángulo en su punto medio, como se muestra en la figura. Si la longitud de PQ  es  . ¿Cuánto vale el radio de la circunferencia pequeña?

 

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